Принцип неопределенности Гейзенберга - в так называют закон, который устанавливает ограничение на точность (почти)одновременного переменных состояния, например положения и частицы. Кроме того, он точно определяет меру неопределенности, давая нижний (ненулевой) предел для произведения дисперсий измерений.

Рассмотрим, например, серию следующих экспериментов: путем применения , частица приводится в определенное чистое состояние, после чего выполняются два последовательных измерения. Первое определяет положение частицы, а второе, сразу после этого, её импульс. Предположим также, что процесс измерения (применения оператора) таков, что в каждом испытании первое измерение даёт то же самое значение, или по крайней мере набор значений с очень маленькой дисперсией d p около значения p. Тогда второе измерение даст распределение значений, дисперсия которого d q будет обратно пропорциональна d p .

В терминах квантовой механики, процедура применения оператора привела частицу в смешанное состояние с определенной координатой. Любое измерение импульса частицы обязательно приведет к дисперсии значений при повторных измерениях. Кроме того, если после измерения импульса мы измерим координату, то тоже получим дисперсию значений.

В более общем смысле, соотношение неопределенности возникает между любыми переменными состояния, определяемыми некомутирующими операторами. Это - один из краеугольных камней , который был открыт в г.

Краткий обзор

Принцип неопределенности в иногда объясняется таким образом, что измерение координаты обязательно влияет на импульс частицы. По-видимому, сам Гейзенберг предложил это объяснение, по крайней мере первоначально. То, что влияние измерения на импульс несущественно, может быть показано следующим образом: рассмотрим ансамбль (невзаимодействующих) частиц приготовленных в одном и том же самом состоянии; для каждой частицы в ансамбле мы измеряем либо импульс либо координату, но не обе величины. В результате измерения мы получим, что значения распределены с некоторой вероятностью и для дисперсий d p и d q верно отношение неопределенности.

Отношения неопределенности Гейзенберга - это теоретический предел точности любых измерений. Они справедливы для так называемых идеальных измерений, иногда называемых измерениями фон Неймана. Они тем более справедливы для неидеальных измерений или измерений .

Соответственно, любая частица (в общем смысле, например несущая дискретный ) не может быть описана одновременно как «классическая точечная частица» и как . (Сам факт того, что какое-либо из этих описаний может быть справедливо, по крайней мере в отдельных случаях, называют корпускулярно-волновым дуализмом). Принцип неопределенности, в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, верен в случае, когда ни одно из этих двух описаний не является полностью и исключительно подходящим, например частица в коробке с определенным значением энергии; то есть для систем, которые не характеризуются ни каким-либо определенным «положением» (какое-либо определенное значение расстояния от потенциальной стенки), ни каким-либо определенным значением импульса (включая его направление).

Существует точная, количественная аналогия между отношениями неопределенности Гейзенберга и свойствами волн или сигналов. Рассмотрим переменный во времени сигнал, например звуковую волну. Бессмысленно говорить о частотном спектре сигнала в какой-либо момент времени. Для точного определения частоты необходимо наблюдать за сигналом в течение некоторого времени, таким образом теряя точность определения времени. Другими словами, звук не может иметь и точного значения времени, как например короткий импульс, и точного значения частоты, как например в непрерывном чистом тоне. Временно́е положение и частота волны во времени походят на координату и импульс частицы в пространстве.

Определение

Если приготовлены несколько идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определенному - это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину Δx координаты и стандартного отклонения Δp импульса, мы найдем что:

\Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2} ,

Другие характеристики

Было развито множество дополнительных характеристик, включая описанные ниже:

Выражение конечного доступного количества информации Фишера

Принцип неопределенности альтернативно выводится как выражение неравенства Крамера-Рао в классической теории измерений. В случае когда измеряется положение частицы. Средне-квадратичный импульс частицы входит в неравенство как информация Фишера. См. также полная физическая информация.

Обобщенный принцип неопределенности

Принцип неопределенности не относится только к координате и импульсу. В своей общей форме, он применим к каждой паре сопряженных переменных . В общем случае, и в отличие от случая координаты и импульса, обсужденного выше, нижняя граница произведения неопределенностей двух сопряженных переменных зависит от состояния системы. Принцип неопределенности становится тогда теоремой в теории операторов, которую мы здесь приведем

Теорема . Для любых самосопряженных операторов: A :H → H и B :H → H , и любого элемента x из H такого, что A B x и B A x оба определены (т.е., в частности, A x и B x также определены), имеем:

\langle BAx|x \rangle \langle x|BAx \rangle = \langle ABx|x \rangle \langle x|ABx \rangle = \left|\langle Bx|Ax\rangle\right|^2\leq \|Ax\|^2\|Bx\|^2

Следовательно, верна следующая общая форма принципа неопределенности , впервые выведенная в г. Говард Перси Робертсоном и (независимо) :

\frac{1}{4} |\langle(AB-BA)x|x\rangle|^2\leq\|Ax\|^2\|Bx\|^2.

Это неравенство называют отношением Робертсона-Шредингера.

Оператор AB -BA называют коммутатором A и B и обозначют как [A ,B ]. Он определен для тех x , для которых определены оба ABx и BAx .

Из отношения Робертсона-Шредингера немедленно следует отношение неопределенности Гейзенберга :

Предположим, A и B - две переменные состояния, которые связаны с самосопряженными (и что важно - симметричными) операторами. Если AB ψ и BA ψ определены, тогда:

\Delta_{\psi}A\,\Delta_{\psi}B\ge\frac{1}{2}\left|\left\langle\left\right\rangle_\psi\right| , \left\langle X\right\rangle_\psi =\left\langle\psi|X\psi\right\rangle

среднее значение оператора переменной X в состоянии ψ системы, и:

\Delta_{\psi}X=\sqrt{\langle{X}^2\rangle_\psi-\langle{X}\rangle_\psi^2}

Возможно также существование двух некоммутирующих самосопряженных операторов A и B , которые имеют один и тот же ψ. В этом случае ψ представляет собой чистое состояние, которое является одновременно измеримым для A и B .

Общие наблюдаемые переменные, которые повинуются принципу неопределенности

Предыдущие математические результаты показывают, как найти отношения неопределенности между физическими переменными, а именно, определить значения пар переменных A и B коммутатор которых имеет определенные аналитические свойства.

  • самое известное отношение неопределенности - между координатой и импульсом частицы в пространстве:
\Delta x_i \Delta p_i \geq \frac{\hbar}{2}
  • отношение неопределенности между двумя ортогональными компонентами оператора частицы:
\Delta J_i \Delta J_j \geq \frac {\hbar} {2} \left |\left\langle J_k\right\rangle\right |

Где i , j , k отличны и J i обозначает угловой момент вдоль оси x i .

  • следующее отношение неопределенности между энергией и временем часто представляется в учебниках физики, хотя его интерпретация требует осторожности, т.к. не существует оператора, представляющего время:
\Delta E \Delta t \ge \frac{\hbar}{2}

Интерпретации

Принцип неопределенности не очень понравился, и он бросил вызов , и Вернеру Гейзенбергу известным (См. дебаты Бор-Эйнштейн для подробной информации): заполним коробку радиоактивным материалом, который испускает радиацию случайным образом. Коробка имеет открытый затвор, который немедленно после заполнения закрывается при помощи часов в определенный момент времени, позволяя уйти небольшому количеству радиации. Таким образом время уже точно известно. Мы все еще хотим точно измерить сопряженную переменную энергии. Эйнштейн предложил сделать это, взвешивая коробку до и после. Эквивалентность между массой и энергией по позволит точно определить, сколько энергии осталось в коробке. Бор возразил следующим образом: если энергия уйдет, тогда полегчавшая коробка сдвинется немного на весах. Это изменит положение часов. Таким образом часы отклоняются от нашей неподвижной , и по специальной теории относительности, их измерение времени будет отличаться от нашего, приводя к некоторому неизбежному значению ошибки. Детальный анализ показывает, что неточность правильно дается соотношением Гейзенберга.

В пределах широко, но не универсально принятой квантовой механики, принцип неопределенности принят на элементарном уровне. Физическая вселенная существует не в форме, а скорее как набор вероятностей, или возможностей. Например, картина (распределение вероятности) произведенная миллионами фотонов, дифрагирующими через щель может быть вычислена при помощи квантовой механики, но точный путь каждого фотона не может быть предсказана никаким известным методом. считает, что это не может быть предсказано вообще никаким методом.

Именно эту интерпретацию Эйнштейн подвергал сомнению, когда говорил: «я не могу представить, чтобы Бог играл в кости со вселенной». Бор, который был одним из авторов Копенгагенской интерпретации, ответил: «Эйнштейн, не говорите Богу, что делать».

Эйнштейн был убежден, что эта интерпретация была ошибочной. Его рассуждение основывалось на том, что все уже известные распределения вероятности являлись результатом детерминированных событий. Распределение подбрасываемой монеты или катящейся кости может быть описано распределением вероятности (50 % орел, 50 % решка). Но это не означает, что их физические движения непредсказуемы. Обычная механика может вычислить точно, как каждая монета приземлится, если силы, действующие на неё будут известны, а орлы/решки будут все ещё распределяться вероятностно (при случайных начальных силах).

Эйнштейн предполагал, что существуют скрытые переменные в квантовой механике, которые лежат в основе наблюдаемых вероятностей.

Ни Эйнштейн, ни кто-либо ещё с тех пор не смог построить удовлетворительную теорию скрытых переменных, и неравенство Белла иллюстрирует некоторые очень тернистые пути в попытке сделать это. Хотя поведение индивидуальной частицы случайно, оно также скоррелировано с поведением других частиц. Поэтому, если принцип неопределенности - результат некоторого детерминированного процесса, то получается, что частицы на больших расстояниях должны немедленно передавать информацию друг другу, чтобы гарантировать корреляции в своем поведении.

Гипотеза Де Бройля. Электронная микроскопия. Волновая функция.

Волны де Бройля

В начале XX века картина мира выглядела очень чётко и не представляла вариантов для толкования:

Каких частиц - это отдельный вопрос. Но именно так: или частицы иливолна - и никак иначе! Всё ясно и понятно.

Такая идиллия продолжалась до 1924 года, пока французский физик Луи де Бройль не пришёл к выводу, что волновые свойства присущи абсолютно всем материальным объектам .

(1)

На эту гипотезу де Бройля натолкнуло сходство уравнений, описывающих поведение лучей света методами геометрической оптики, и движение частиц в механике методом уравнений Гамильтона .

Предположение было неожиданным, красивым и многое объясняло, но нужно было его экспериментальное подтверждение, иначе всё так и осталось бы на уровне гипотезы.

Первое экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля в 1927 году получили американские исследователи Дэвидсон и Джермер . Они изучали угловое распределение электронов, рассеивающихся на монокристалле никеля.

Ионизационной камерой 4 , с присоединённым с ней гальванометром 5 , по силе возникающего тока I измерялось число электронов, отражённых от кристалла под углом , равным углу падения, то есть - интенсивность отражённого электронного пучка .

2. Если же угол падения электронного пучка на кристалл менялся , а ускоряющее напряжение Uоставалось неизменным , то интенсивность отражённого пучка имела ярко выраженные максимумы при углах падения, удовлетворяющих условию Вульфа-Брэгга.

Способ нахождения импульса зависит от скорости, которую имеет частица. Если скорость движения частицы во много раз меньше скорости света в вакууме, то импульс (количество движения) определяется привычной формулой.


Выясним, какое выражение (2 или 3) надо использовать для нахождения импульса в данном случае. Для этого сравним энергию электронов в условиях опыта Дэвидсона и Джермера с их энергией покоя.

В проведённых экспериментах ускоряющее напряжение было на уровне 400В . В этом случае энергия электронов не превышала E e = eU = 400 эВ . Энергия же покоя электрона E o = m o c 2 = 0,511 МэВ = 511000 эВ . Следовательно, E e <, электроны являются нерелятивистскими и для нахождения их импульса можно использовать выражение (2).

При разгоне (ускорении) электрона работа сил электрического поля идёт на увеличение его кинетической энергии. Для условий эксперимента получаем

Подстановка числовых значений даёт

Следовательно, при U = 400 В в описываемых экспериментах имеем для электрона значение длины волны де Бройля равное = 6,2 10 -11 м .

Такое же значение для длины волны дал и расчёт по формуле Вульфа-Брэгга, основанной на волновой теории.

Гипотеза Луи де Бройля о наличии у частиц волновых свойств получила своё экспериментальное подтверждение.

Вроде бы можно успокоиться и заняться чем-либо другим. Однако вопрос, поднятый де Бройлем , был слишком фундаментальным и нужны были более наглядные подтверждения. Поэтому экспериментаторы продолжили свою работу.

Следует отметить, что одновременно и независимо от Дэвидсона этими вопросами занимался профессор Абердинского университета Джордж П.Томсон (сын знаменитого Джозефа Джона Томсона , открывшего электрон), который и добился успеха первым.

На рис. 3 приведены первые фотографии с двумя дифракционными картинами при разных напряжениях на катодной трубке. Видно, что увеличение напряжения (левый снимок), приводящее к увеличению энергии электронов, приводит и к более чёткой картине с большим числом колец.

Многократно повторив свои эксперименты с различными образцами фольги, Джордж П.Томсон пришёл к выводу:

Несколько послеДж.П.Томсона аналогичные результаты были получены П.С.Тартаковским , а затем и другими физиками, которые также смогли зафиксировать дифракционные кольца, возникающие при прохождении пучка электронов через тонкие слои металла.

Советский физик Иосив Мандельштам с сотрудниками пошёл ещё дальше, он сумел экспериментально показать, что де Бройлевские волны могут интерферировать между собой.

Затем был показано, что волновые свойства обнаруживают нейтроны, протоны и даже молекулы водорода.

Дифракция электронов (электронография ) применяется сейчас при исследовании структуры поверхности, например, при изучении коррозии, при адсорбции газов на поверхностях.

Дифракция нейтронов (нейтронография ) является мощным средством изучения структур, в особенности органических кристаллов, содержащих водород, что невозможно сделать с использованием рентгеновского излучения.

Появились и новая отрасль науки - электронная оптика , давшая миру новый прибор - электронный микроскоп , без которого в настоящее время немыслимы многие исследования. При ускоряющих напряжениях от 50 до 100кВ разрешающая способность электронных микроскопов приближается к 20 .

Но всё это было позже, а первопроходцы

Соотношение неопределённости Гейзенберга

Доказанное одновременное наличие у микрочастиц и корпускулярных и волновых свойств приводило к невозможности применения к ним законов классической механики.

В макромире можно однозначно определить в любой момент времени импульс и координату движущего тела или материальной точки; можно рассчитать и траекторию их движения.

В микромире из-за наличия волновых свойств одновременные значения координат и скорости (импульса) не существуют: если известна скорость (импульс), то местоположение частицы (её координаты) не имеют определённого значения - понятие длина волны в конкретной точке не имеет смысла . То же самое и наоборот.

Налицо парадокс, который впервые был сформулирован немецким физиком Вернером Гейзенбергом в виде так называемого
принципа неопределённости :

Разделив выражение (4) на массу m частицы, получим другую форму записи принципа неопределённости:

Сказанное выше хорошо иллюстрируется несколькими примерами, с которыми можно познакомиться здесь.

Если выразить p х через энергию ( p х = Е/ v x), то учитывая, что х/ v х = t, получаем соотношение неопределённостей для энергииE и времениt :

(6)

Здесь tпредставляет собой время, в течение которого микрочастица обладает энергией .

Например, атом на самом низком энергетическом уровне может пребывать сколь угодно долго (), поэтому энергия этого состояния вполне определена: Е = 0.

В более высоком энергетическом состояни и атом пребывает очень недолго. Если это время равно t, то энергия атома в этом состоянии может быть определена с точностью до и будет равна . При переходе атома с более высокого уровня на более низкий энергетический уровень с энергией Е" он излучает фотон с энергией

(7)

Таким образом, энергия излучённого фотона может быть известна только с точностью до Е. Величина же Е определяется временем t жизни атома в возбуждённом состоянии.

На основании выражения (7) можно утверждать, что частота излучённого кванта (фотона) имеет неопределённость , равную = Е / h, то есть линии в спектре будут иметь частоту, равную Е / h.

Уравнение Шредингера

В классической механике движение любой материальной точки однозначно описывается уравнением Исаака Ньютона (второй закон Ньютона ), которое в движении вдоль оси ОХ (одномерный случай) имеет вид

(8)

В квантовой механике необходим учёт волновых свойств частиц. Поэтому вместо формулы (8) должно быть использовано другое уравнение. Такое уравнение в 1926 году было записано Эрнестом Шредингером и носит его имя.

Чтобы уравнение, описывающее движения микрочастицы, учитывало её волновые свойства , это уравнение должно быть волновым . Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси ОХ, волновое уравнение представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных . Независимыми переменными в нём являются координата и время.

В случае электромагнитной волны имеем

Для описания движения микрочастицы введём функцию = (x, y, z, t) , связанную с длиной волны де Бройля (смысл этой функции рассмотрим ниже). В этих обозначениях получим

Возьмём вторую частную производную уравнения (11) по времени, то есть продифференцируем его два раза по t

Поскольку v/ = , то можем записать ( /v) 2 =1/() 2 . Теперь, зная, что длина волны де Бройля = h/(mv), получим

С учётом (14) и (15) из (13) получаем

(17)

Здесь - оператор Лапласа. Применение его к пси-функции даёт - лаплассиан .

В общем случае волновое уравнение является функцией двух видов переменных. Как уже говорилось, уравнение Шредингера в виде (16) и (17) не зависит от времени и записано для стационарного случая, при котором волновая функция не зависит от времени: в уравнении (16) = (x) , а в уравнении (17) = (x, y, z) .

При учёте времени как ещё одной переменной, = (x, y, z, t) и уравнение Шредингера принимает вид

Во-первых , оно справедливо лишь при малых (по сравнению со скоростью света в вакууме) скоростях движения частицы, когда
v<< c.

Во-вторых , уравнение Шредингера не описывает процессы, происходящие с изменением числа взаимодействующих частиц, их рождением или аннигиляцией, и не учитывает внутренних степеней свободы частиц, таких, например, как спин.

Релятивистский вариант этого уравнения (когда v c.) был получен Полем Дираком (здесь мы его не рассматриваем).

Записанные выше (16) и (17) стационарные варианты уравнения Шредингера получаются из временн го уравнения (18) при не учёте фактора времени.

Уравнение Шредингера записано для частицы, движущейся в поле, характеризуемом потенциальной энергией U . При решении этого уравнения надо задать вид потенциального поля и закон изменения U . Из решения этого уравнения следует закон квантования энергии для частиц, совпадающий с правилами, введёнными Бором при разработке теории атома водорода. Однако здесь он получается естественным путём , как результат решения, а не искусственно постулируетс я, как у Бора.

Приведённые в этом разделе рассуждения не претендуют на вывод уравнения Шредингера. По сути, уравнение (18) постулируется, а об его справедливости судят, сравнивая следствия из этого уравнения с результатами экспериментов.

Именно благодаря экспериментальным свидетельствам и можно с уверенностью утверждать, что уравнение Шредингера успешно описывает поведение микрообъектов в нерелятивистском приближении.

Допустим, что имеется столь слабый поток частиц, что сквозь щель проходит один электрон за другим через большой промежуток времени. Уравнение Шредингера не позволяет точно предсказать, в какое именно место экрана попадёт конкретный электрон. Это уравнение даёт только вероятность распределения частиц по экрану после прохождения щели. Однако, если эксперимент продолжать достаточно долго, так, чтобы на экран попало большое количество частиц, возникает обычная дифракционная картина.

Следовательно, теория предсказывает только статистический результат , то есть то, что произойдёт в среднем, за большой промежуток времени.

Волновая функция

Попробуем теперь разобраться, что представляет собой введённая в предыдущем параграфе волновая функция = (x, y, z, t) ,.

Для этого рассмотрим в общем виде плоскую волну, которая распространяется в направлении нормали On (см. рис.4). Колебания в плоскости волнового фронта волны АВ запишем в комплексном виде

= 0 exp(-2 i t), (19)

где 0 - амплитуда, - частота, t - время. Через некоторое время фронт волны переместится и займёт положение A"B" .

См. также «Физический портал»

Принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга ) в квантовой механике - фундаментальное неравенство (соотношение неопределённостей), устанавливающее предел точности одновременного определения пары характеризующих квантовую систему физических наблюдаемых (см. физическая величина), описываемых некоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного поля). Соотношение неопределенностей задаёт нижний предел для произведения среднеквадратичных отклонений пары квантовых наблюдаемых. Принцип неопределённости, открытый Вернером Гейзенбергом в г., является одним из краеугольных камней квантовой механики.

Краткий обзор

Соотношения неопределённостей Гейзенберга являются теоретическим пределом точности одновременных измерений двух некоммутирующих наблюдаемых. Они справедливы как для идеальных измерений, иногда называемых измерениями фон Неймана , так и для неидеальных измерений или измерений Ландау .

Согласно принципу неопределённостей, частица не может быть описана как классическая частица, то есть например у нее не могут быть одновременно точно измерено положение и скорость (импульс) , так же как у обычной классической волны и как волна . (Сам факт того, что какое-либо из этих описаний может быть справедливо, по крайней мере в отдельных случаях, называют корпускулярно-волновым дуализмом). Принцип неопределённости, в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, применим и в случае, когда ни одно из этих двух описаний не является полностью и исключительно подходящим, например частица с определённым значением энергии, находящаяся в коробке с идеально отражающими стенками; то есть для систем, которые не характеризуются ни каким-либо определённым «положением» или пространственной координатой (волновая функция частицы делокализована на всё пространство коробки, то есть ее координаты не имеют определенного значения, локализация частицы осуществлена не точнее размеров коробки), ни определённым значением импульса (включая его направление; в примере с частицей в коробке модуль импульса определен, но не определено его направление).

Соотношения неопределённостей не ограничивают точность однократного измерения любой величины (для многомерных величин тут подразумевается в общем случае только одна компонента). Если её оператор коммутирует сам с собой в разные моменты времени, то не ограничена точность и многократного (или непрерывного) измерения одной величины. Например, соотношение неопределённостей для свободной частицы не препятствует точному измерению её импульса, но не позволяет точно измерить её координату (это ограничение называется стандартный квантовый предел для координаты).

Соотношение неопределенностей в квантовой механике есть в математическом смысле есть непосредственное прямое следствие некоего свойства преобразования Фурье .

Существует точная количественная аналогия между соотношениями неопределённости Гейзенберга и свойствами волн или сигналов . Рассмотрим переменный во времени сигнал, например звуковую волну . Бессмысленно говорить о частотном спектре сигнала в какой-либо момент времени. Для точного определения частоты необходимо наблюдать за сигналом в течение некоторого времени, таким образом теряя точность определения времени. Другими словами, звук не может одновременно иметь и точное значение времени его фиксации, как его имеет очень короткий импульс, и точного значения частоты, как это имеет место для непрерывного (и в принципе бесконечно длительного) чистого тона (чистой синусоиды). Временно́е положение и частота волны математически полностью аналогичны координате и (квантово-механическому) импульсу частицы. Что совсем не удивительно, если вспомнить, что (или p x = k x в системе единиц ), то есть импульс в квантовой механике - это и есть пространственная частота вдоль соответствующей координаты.

В повседневной жизни мы обычно не наблюдаем квантовую неопределённость потому, что значение чрезвычайно мало, и поэтому соотношения неопределенностей накладывают такие слабые ограничения на погрешности измерения, которые заведомо незаметны на фоне реальных практических погрешностей наших приборов или органов чувств.

Определение

Если имеется несколько идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определённому распределению вероятности - это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину среднеквадратического отклонения Δx координаты и среднеквадратического отклонения Δp импульса, мы найдем что:

,

где - приведённая постоянная Планка .

Отметим, что это неравенство даёт несколько возможностей - состояние может быть таким, что x может быть измерен с высокой точностью, но тогда p будет известен только приблизительно, или наоборот p может быть определён точно, в то время как x - нет. Во всех же других состояниях, и x и p могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью.

Варианты и примеры

Обобщённый принцип неопределённости

Принцип неопределённости не относится только к координате и импульсу (как он был впервые предложен Гейзенбергом). В своей общей форме, он применим к каждой паре сопряжённых переменных . В общем случае, и в отличие от случая координаты и импульса, обсуждённого выше, нижняя граница произведения «неопределённостей» двух сопряжённых переменных зависит от состояния системы. Принцип неопределённости становится тогда теоремой в теории операторов, которую мы здесь приведем

Следовательно, верна следующая общая форма принципа неопределённости , впервые выведенная в г. Говардом Перси Робертсоном и (независимо) Эрвином Шрёдингером :

Это неравенство называют соотношением Робертсона - Шрёдингера .

Оператор A B − B A называют коммутатором A и B и обозначают как [A ,B ] . Он определен для тех x , для которых определены оба A B x и B A x .

Из соотношения Робертсона - Шрёдингера немедленно следует соотношение неопределённости Гейзенберга :

Предположим, A и B - две физические величины, которые связаны с самосопряжёнными операторами. Если A B ψ и B A ψ определены, тогда:

,

Среднее значение оператора величины X в состоянии ψ системы, и

Возможно также существование двух некоммутирующих самосопряжённых операторов A и B , которые имеют один и тот же собственный вектор ψ . В этом случае ψ представляет собой чистое состояние, которое является одновременно измеримым для A и B .

Общие наблюдаемые переменные, которые повинуются принципу неопределённости

Предыдущие математические результаты показывают, как найти соотношения неопределённостей между физическими переменными, а именно, определить значения пар переменных A и B , коммутатор которых имеет определённые аналитические свойства.

  • самое известное отношение неопределённости - между координатой и импульсом частицы в пространстве:
  • отношение неопределённости между двумя ортогональными компонентами оператора полного углового момента частицы:
где i , j , k различны и J i обозначает угловой момент вдоль оси x i .
  • следующее отношение неопределённости между энергией и временем часто представляется в учебниках физики, хотя его интерпретация требует осторожности, так как не существует оператора, представляющего время:
. Однако, при условие периодичности несущественно и принцип неопределенности принимает привычный вид: .

Выражение конечного доступного количества информации Фишера

Принцип неопределённости альтернативно выводится как выражение неравенства Крамера - Рао в классической теории измерений, в случае когда измеряется положение частицы. Средне-квадратичный импульс частицы входит в неравенство как информация Фишера . См. также полная физическая информация.

Интерпретации

Эйнштейн был убеждён, что эта интерпретация была ошибочной. Его рассуждение основывалось на том, что все уже известные распределения вероятности являлись результатом детерминированных событий. Распределение подбрасываемой монеты или катящейся кости может быть описано распределением вероятности (50 % орёл, 50 % решка). Но это не означает, что их физические движения непредсказуемы. Обычная механика может вычислить точно, как каждая монета приземлится, если силы, действующие на неё, будут известны, а орлы/решки будут все ещё распределяться случайно (при случайных начальных силах).

Эйнштейн предполагал, что существуют скрытые переменные в квантовой механике, которые лежат в основе наблюдаемых вероятностей.

Ни Эйнштейн, ни кто-либо ещё с тех пор не смог построить удовлетворительную теорию скрытых переменных, и неравенство Белла иллюстрирует некоторые очень тернистые пути в попытке сделать это. Хотя поведение индивидуальной частицы случайно, оно также скоррелировано с поведением других частиц. Поэтому, если принцип неопределённости - результат некоторого детерминированного процесса, то получается, что частицы на больших расстояниях должны немедленно передавать информацию друг другу, чтобы гарантировать корреляции в своём поведении.

Принцип неопределённости в популярной культуре

Принцип неопределённости часто неправильно понимается или приводится в популярной прессе. Одна частая неправильная формулировка в том, что наблюдение события изменяет само событие. Вообще говоря, это не имеет отношения к принципу неопределённости. Почти любой линейный оператор изменяет вектор, на котором он действует (то есть почти любое наблюдение изменяет состояние), но для коммутативных операторов никаких ограничений на возможный разброс значений нет (). Например, проекции импульса на оси c и y можно измерить вместе сколь угодно точно, хотя каждое измерение изменяет состояние системы. Кроме того, в принципе неопределённости речь идёт о параллельном измерении величин для нескольких систем, находящихся в одном состоянии, а не о последовательных взаимодействиях с одной и той же системой.

Другие (также вводящие в заблуждение) аналогии с макроскопическими эффектами были предложены для объяснения принципа неопределённости: одна из них рассматривает придавливание арбузной семечки пальцем. Эффект известен - нельзя предсказать, как быстро или куда семечка исчезнет. Этот случайный результат базируется полностью на хаотичности, которую можно объяснить в простых классических терминах.

В некоторых научно-фантастических рассказах устройство для преодоления принципа неопределённости называют компенсатором Гейзенберга, наиболее известное используется на звездолёте «Энтерпрайз» из фантастического телесериала Звёздный Путь в телепортаторе. Однако, неизвестно, что означает «преодоление принципа неопределённости». На одной из пресс-конференций продюсера сериала спросили «Как работает компенсатор Гейзенберга?», на что он ответил «Спасибо, хорошо!»

Концепция неопределённости квантовой механики


Понятия и принципы классической физики оказались неприменимыми не только к изучению свойств пространства и времени, но еще в большей мере к исследованию физических свойств мельчайших частиц материи или микрообъектов, таких, как электроны, протоны, нейтроны, атомы и подобные им объекты, которые часто называют атомными частицами. Они образуют невидимый нами микромир, и поэтому свойства объектов этого мира совершенно не похожи на свойства объектов привычного нам макромира. Планеты, звезды, кометы, квазары и другие небесные тела образуют мегамир.

Переходя к изучению свойств и закономерностей объектов микромира, необходимо сразу же отказаться от привычных представлений, которые навязаны нам предметами и явлениями окружающего нас макромира. Конечно, сделать это нелегко, ибо весь наш опыт и представления возникли и опираются на наблюдения обычных тел, да и сами мы являемся макрообъектами. Поэтому требуются немалые усилия, чтобы преодолеть наш прежний опыт при изучении микрообъектов. Для описания поведения микрообъектов широко используются абстракции и математические методы исследования.

В первое время физики были поражены необычными свойствами тех мельчайших частиц материи, которые они изучали в микромире. Попытки описать, а тем более объяснить свойства микрочастиц с помощью понятий и принципов классической физики потерпели явную неудачу. Поиски новых понятий и методов объяснения в конце концов привели к возникновению новой квантовой механики, в окончательное построению и обоснование которой значительный вклад внесли Э. Шредингер (1887-1961), В. Гейзенберг (1901-1976), М. Борн (1882-1970). В самом начале эта механика была названа волновой в противоположность обычной механики, которая рассматривает свои объекты как состоящие из корпускул, или частиц. В дальнейшем для механики микрообъектов утвердилось название квантовой механики.

4.1. Дуализм волны и частицы в микрообъектах.

Обсуждение необычных свойств микрообъектов начнем с описания экспериментов, посредством которых впервые было установлено, что эти объекты в одних опытах обнаруживают себя как материальные частицы, или корпускулы, в других - как волны. Для сравнения сошлемся на историю изучения оптических явлений. Известно, что Ньютон рассматривал свет в виде мельчайших корпускул, но после открытия явлений интерференции и дифракции возобладала волновая теор ия света, согласно которой свет представлялся в виде волнообразного движения, возникающего в особой среде, названной эфиром. В начале нашего столетия открытие явления фотоэффекта способствовало признанию корпускулярной природы света: фотоны как раз и представляли такие световые корпускулы. Еще раньше (1900 г.) представление о дискретных порциях (квантах) энерги и было использовано немецким физиком Максом

Планком (1858-1947) для объяснения процессов поглощения и излучения энерги и. Впоследствии А. Эйштейн показал, что свет не только поглощается и излучается, но и распространяется квантами. На этой основе он сумел объяснить явление фотоэффекта, состоящего в вырывании квантами света, названными фотонами, электронов с поверхности тела. Энерги я Е фотона пропорциональна частоте: Е = hv , где Е - энерги я, v - частота, h - постоянная Планка.

С другой стороны, такие световые явления, как интерференция и дифракция, еще в прошлом веке объяснялись с помощью волновых представлений. В теор ии Максвелла свет рассматривался как особый вид электромагнитных волн. Таким образом, классические представления о свете как волновом процессе были дополнены новыми взглядами, рассматривающими его как поток световых корпускул, квантов или фотонов. В результате возник так называемый корпускулярно-волновой дуализм, согласно которому одни оптические явления (фотоэффект) объяснялись с помощью корпускулярных представлений, другие (интерференция и дифракция) - волновых взглядов. С точки зрения обыденного сознания трудно было представить свет как поток частиц - фотонов, но не менее привычным раньше казалось сводить свет к волновому процессу. Еще менее ясным казалось вообразить свет в виде своеобразного создания, объединяющего свойства корпускул и волн. Тем не менее, признание корпускулярно-волнового характера света во многом способствовало прогрессу физической науки.

Новый радикальный шаг в развитии физики был связан с распространением корпускулярно-волнового дуализма на мельчайшие частицы вещества - электроны, протоны, нейтроны и другие микрообъекты. В классической физике вещество всегда считалось состоящим из частиц и потому волновые свойства казались явно чуждыми ему. Тем удивительным оказалось открытие о наличии у микрочастиц волновых свойств, первую гипотез у о существовании которых высказал в 1924 г. известный французский ученый Луи де Бройль (1875-1960). Экспериментально эта гипотез а была подтверждена в 1927 г. американскими физиками К. Дэвиссоном и Л. Джермером, впервые обнаружившими явление дифракции электронов на кристалле никеля, т. е. типично волновую картину.

Гипотез а де Бройля:

Каждой материальной частице независимо от ее природы следует поставить в соответствие волну, длина которой обратно пропорциональна импульсу частицы: λ = h / p , где h - постоянная Планка, р - импульс частицы, равный произведению ее массы на скорость.

Таким образом, было установлено, что не только фотоны, т. е. кванты света, но и материальные, вещественные частицы, такие, как электрон, протон, нейтрон и другие, обладают двойственными свойствами. Следовательно, все микрообъекты обладают как корпускулярными, так и волновыми свойствами. Это явление, названное впоследствии дуализмом волны и частицы, совершенно не укладывалось в рамкиклассическойфизики,объекты изучения которой могли обладать либо корпускулярными, либо волновыми свойствами.В отличие от этого микрообъекты обладают одновременно как корпускулярными, так и волновыми свойствами. Например, в одних экспериментах электрон обнаруживал типично корпускулярные свойства, а в других - волновые свойства, так что его можно было назвать как частицей, так и волной. Тот факт, что поток электронов представляет собой поток мельчайших частиц вещества, знали и раньше, но то, что этот поток обнаруживает волновые свойства, образуя типичные явления интерференции и дифракции, подобно волнам света, звука и жидкости, оказалось полной неожиданностью для физиков.

Для лучшего понимания всех дальнейших вопросов проделаем такой мысленный эксперимент. Пусть мы имеем устройство, которое дает поток электронов, например, электронную пушку. Поставим перед ней тонкую металлическую пластинку с двумя дырочками, через которые могут пролетать электроны. Прохождение электронов через эти отверстия регистрируется специальным прибором, например, счетчиком Гейгера или электронным умножителем, подсоединенным к динамику. Если подсчитать количество электронов, прошедших отдельно через первое отверстие, когда второе закрыто, и через второе, когда первое закрыто, а потом через оба отверстия, то окажется, что сумма вероятностей прохождения электронов, когда открыто одно из отверстий, не будет равна вероятности их прохождения при двух открытых отверстиях:

где Р - вероятность прохождения электронов при двух открытых отверстиях, Р1- вероятность прохождения электронов при открытии первого отверстия, Р2- вероятность при открытии второго отверстия.

Это неравенство свидетельствует о наличии интерференции при прохождении электронов через оба отверстия. Интересно отметить, что если на прошедшие электроны воздействовать светом, то интерференция исчезает. Следовательно, фотоны, из которых состоит свет, изменяют характер движения электронов.

Таким образом, перед нами совершенно новое явление, заключающееся в том, что всякая попытка наблюдения микрообъектов сопровождается изменением характера их движения. Поэтому никакое наблюдение микрообъектов независимо от приборов и измерительных средств субъекта в мире мельчайших частиц материи невозможно. Именно это обстоятельство вызывает обычно возражение со стороны тех, кто не видит различия между микро- и макрообъектами. В макромире, в котором мы живем, мы не замечаем влияния приборов наблюдения и измерения на макротела, которые изучаем, поскольку практически такое влияние чрезвычайно мало и поэтому им можно пренебречь. В этом мире как приборы и инструменты, так и сами изучаемые тела характеризуются тем же порядком величин. Совершенно иначе обстоит дело в микромире, где макроприбор не может не влиять на микрообъекты. Однако подобное воздействие не фигурирует в классической механике.

Другое принципиальное отличие микрообъектов от макрообъектов заключается в наличии у первых корпускулярно-волновых свойств, но объединение таких противоречивых свойств у макрообъектов начисто отвергается классической физикой. Хотя классическая физика и признает существование вещества и поля, но отрицает существование объектов, обладающих корпускулярными свойствами, присущими веществу, и одновременно волновыми свойствами, которые характерны для физических полей (акустических, оптических или электромагнитных).

В силу такой кажущейся противоречивости корпускулярных и волновых свойств датский физик Нильс Бор выдвинул принцип дополнительности для квантово-механического микрообъектов, согласно которому корпускулярная картина такого описания должна быть дополненаволновымальтернативным описанием. Действительно, в одних экспериментах микрочастицы, например электроны, ведут себя как типичные корпускулы, в других - как волновые структуры. Нельзя, конечно, думать, что волновые и корпускулярные свойства у микрообъектов возникают вследствие соответствующих экспериментов. На самом деле такие свойства при этих экспериментах только обнаруживаются. Мы приходим, таким образом, к выводу, что дуализм микрообъектов, заключающийся в объединении в одном микрообъекте одновременно волновых и корпускулярных свойств, представляетсобойфундаментальную характеристику объектов микромира. Опираясь именно на эту характеристику, мы можем понять и объяснить другие особенности микромира.

4.2. Вероятностный характер предсказаний квантовой Механике.

Принципиальное отличие квантовой механики от классической состоит также в том, что ее предсказания всегда имеют вероятностный характер. Это означает, что мы не можем точно предсказать, в какое именно место попадает, например, электрон в рассмотренном выше эксперименте, какие бы совершенные средства наблюдения и измерения ни использовали. Можно оценить лишь его шансы попасть в определенное место, а следовательно, применить для этого понятия и методы теор ии вероятностей, которая служит для анализа неопределенных ситуаций. Подчеркивая это "очень важное различие между классической и квантовой механикой", Р. Фейнман указывает, что "мы не умеем предсказывать, что должно было бы случиться в данных обстоятельствах". Мало того, добавляет он, мы уверены, что это немыслимо:

единственное, что поддается предвычислению, - это вероятность различных событий. Приходится признать, что мы изменили нашим прежним идеалам понимания природы. Может быть, это шаг назад, но никто не научил нас, как избежать его!

Идеалом классической механики было стремление к точному и достоверному предсказанию изучаемых явлений и событий. Действительно, если полностью заданы положение и скорость движения механической системы в данный момент времени, то уравнения механики позволяют с достоверностью вычислить координаты и скорость ее движения в любой заданный момент времени в будущем или прошлом. В самом деле, небесная механика, опираясь на этот принцип, дает на много лет вперед точные и достоверные прогно зы о солнечных и лунных затмениях, так же как и о прошлых затмениях. Отсюда следует, что при таких прогно зах никак не учитывается изменение событий во времени, но самое главное состоит в том, что классическая механика абстрагируется (или отвлекается) от многих усложняющих факторов. Она, например, рассматривает планеты, движущиеся вокруг Солнца, как материальные точки, поскольку расстояния между ними гораздо больше, чем размеры самих планет. Поэтому для предсказания движения планет вполне допустимо рассматривать их как такие точки, т.е. геометрические точки, в которых сконцентрирована вся масса планет. Мы не говорим уж о том, что для определения положения и скорости их движения можно отвлекаться от многих других факторов, например, от воздействия других систем в Галактике, движения самой Галактики и т.п. Благодаря такому I упрощению реальной картины, ее схематизации возможны точные предсказания о движении небесных тел.

Ничего подобного не имеется в мире мельчайших частиц материи, о свойствах которых мы можем судить лишь косвенно по показаниям наших макроскопических приборов. Поведение микрообъектов совершенно не похоже на поведение окружающих нас макротел, изнаблюденияиизучениякоторыхнакапливаетсянаш опыт. К сожалению, этот опыт нельзя использовать при изучении микрообъектов, потому что и сами их размеры не сравнимы с размерами макротел, и силы взаимодействия, существующие в микромире, имеют совершенно другой, более сложный характер. Вот почему явления, происходящие в микромире, трудно поддаются пониманию и людьми, впервые знакомящимися с ними, и самими учеными, многие годы потратившими на их изучение. Немалое значение здесь имеет особый принцип ограничения или запрета, который мы обсудим ниже.

4.3. Принцип неопределённости в квантовой механике.

Этот принцип впервые сформулировал выдающийся немецкий физик Вернер Гейзенберг (1901-1976) в виде соотношения неточностей при определении сопряженных величин в квантовой механике, который теперь обычно называют принципом неопределенности. Суть его заключается в следующем: если мы стремимся определить значение одной из сопряженных величин в квантово-механическом описании, например, координаты х, то значение другой величины, а именно скорости или скорее импульса р = mv , нельзя определить с такой же

точностью. Иначе говоря, чем точнее определяется одна из сопряженных величин, тем менее точной оказывается другая величина. Это соотношение неточностей, или принцип неопределенности, выражается следующей формулой:

где х - обозначает координату, р - импульс, h - постоянную Планка, а Δ - приращение величины.

Таким образом, принцип неопределенности постул ирует:

Невозможно с одинаковой точностью определить и положение, и импульс микрочастицы. Произведение их неточностей не должно превышать постоянную Планка.

На практике, конечно, неточности измерения бывают значительно больше, чем тот минимум, который предписывает принцип неопределенности, но речь идет о принципиальной стороне дела. Границы, которые устанавливаются этим принципом, не могут быть преодолены путем совершенствования средств измерения. Поэтому принцип неопределенности, по крайней мере в настоящее время, считается фундаментальным положением квантовой механики и неявно фигурирует в ней во всех рассуждениях. Теор етически не исключается возможность отклонения этого принципа и соответственно изменения связанных с ним законов квантовой механики, но в настоящее время он считается общепризнанным.

Из принципа неопределенности непосредственно следует, что вполне возможно осуществить эксперимент, с помощью которого можно с большой точностью определить положение микрочастицы, но в таком случае ее импульс будет определен неточно. Наоборот, если импульс будет определен с возможной степенью точности, тогда ее положение станет известным недостаточно точно.

В квантовой механике любое состояние системы описывается с помощью так называемой "волновой функции", но в отличие от классической механики эта функция определяет параметры ее будущего состояния не достоверно, а лишь с той или иной степенью вероятности. Это означает, что для того или иного параметра системы волновая функция дает лишь вероятностные предсказания. Например, будущее положение какой-либо частицы системы будет определено лишь в некотором интервале значений, точнее говоря, для нее будет известно лишь вероятностное распределение значений.

Таким образом, квантовая теор ия фундаментально отличается от классической тем, что ее предсказания имеют лишь вероятностный характер и потому она не обеспечивает точных предсказаний, к каким мы привыкли в классической механике. Именно эта неопределенность и неточность ее предсказаний больше всего вызывает споры среди ученых, некоторые из которых стали в связи с этим говорить об индетерминизме квантовой механики. (Подробнее об этом см. следующую главу). Отметим, что представители прежней, классической физики были убеждены, что по мере развития науки и совершенствования измерительной техники законы науки станут все более точными и достоверными. Поэтому они верили, что никакого предела для точности предсказаний не существует. Принцип неопределенности, лежащий в основе квантовой механики, в корне подорвал эту веру.

4.4. Философские выводы из квантовой механики.

Принцип неопределенности, как нетрудно заметить, тесно связан с такой фундаментальной проблемой научного познания, как взаимодействие объекта и субъекта, которая имеет философский характер.

Что нового дает квантовая механика для ее понимания?

Прежде всего, она ясно показывает, что субъект, т. е. физик, исследующий мир мельчайших частиц материи, не может не воздействовать своими приборами и измерительными устройствами на эти частицы. Классическая физика тоже признавала, что приборы наблюдения и измерения оказывают свое возмущающее влияние на изучаемые процессы, но оно было там настолько незначительно, что им можно было пренебречь. Совсем иное положение мы имеем в квантовой механике, ибо приборы и измерительные устройства, используемые для изучения микрообъектов, являются макрообъектами. Поэтому они вносят такие возмущения в движения микрочастиц, что в результате их будущие состояния нельзя определить вполне точно и достоверно. Стремясь точно определить один параметр, получают неточность в измерении другого параметра.

Важнейший философский вывод из квантовой механики заключается в принципиальной неопределенности результатов измерения и, следовательно, невозможности точного предвидения будущего.

Однако отсюда вовсе не следует, что предсказания в области микромира совершенно невозможны. Речь идет только о том, что воздействия приборов наблюдения и измерения на мельчайшие частицы материи сказываются на их поведении значительно сильнее, чем на поведении макротел. Однако даже в области макромира абсолютно точное предсказание осуществить невозможно. Тем более это касается недоступного нашим чувствам микромира. Неудивительно поэтому, что после возникновения квантовой механики многие заговорили о полной непредсказуемости будущего, о "свободе воли" электрона и подобных ему частиц, о господстве случайности в мире и отсутствии в нем детерминизма. Подробнее об этом мы расскажем в следующей главе.

Принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга ) - в квантовой механике так называют принцип, дающий нижний (ненулевой) предел для произведения дисперсий величин, характеризующих состояние системы.

Обычно принцип неопределённости иллюстрируется следующим образом. Рассмотрим ансамбль невзаимодействующих эквивалентных частиц, приготовленных в определённом состоянии, для каждой из которых измеряется либо координата q , либо импульс p . При этом результаты измерений будут случайными величинами, дисперсии которых будут удовлетворять соотношению неопределённостей . Отметим, что, хотя нас интересуют одновременные значения координаты и импульса в данном квантовом состоянии , измерять их у одной и той же частицы нельзя, так как любое измерение изменит её состояние.

В общем смысле, соотношение неопределённости возникает между любыми переменными состояния, определяемыми некоммутирующими операторами. Это - один из краеугольных камней квантовой механики, который был открыт Вернером Гейзенбергом в г.

Краткий обзор

Принцип неопределённости в квантовой механике иногда объясняется таким образом, что измерение координаты обязательно влияет на импульс частицы. По-видимому, сам Гейзенберг предложил это объяснение, по крайней мере первоначально. То, что влияние измерения на импульс несущественно, может быть показано следующим образом: рассмотрим ансамбль (невзаимодействующих) частиц, приготовленных в одном и том же состоянии; для каждой частицы в ансамбле мы измеряем либо импульс, либо координату, но не обе величины. В результате измерения мы получим, что значения распределены с некоторой вероятностью, и для дисперсий d p и d q верно отношение неопределённости.

Отношения неопределённости Гейзенберга - это теоретический предел точности любых измерений. Они справедливы для так называемых идеальных измерений, иногда называемых измерениями фон Неймана . Они тем более справедливы для неидеальных измерений или измерений Ландау .

Соответственно, любая частица (в общем смысле, например несущая дискретный электрический заряд) не может быть описана одновременно как «классическая точечная частица» и как волна . (Сам факт того, что какое-либо из этих описаний может быть справедливо, по крайней мере в отдельных случаях, называют корпускулярно-волновым дуализмом). Принцип неопределённости, в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, верен в случае, когда ни одно из этих двух описаний не является полностью и исключительно подходящим, например частица в коробке с определённым значением энергии; то есть для систем, которые не характеризуются ни каким-либо определённым «положением» (какое-либо определённое значение расстояния от потенциальной стенки), ни определённым значением импульса (включая его направление).

Существует точная, количественная аналогия между отношениями неопределённости Гейзенберга и свойствами волн или сигналов . Рассмотрим переменный во времени сигнал, например звуковую волну . Бессмысленно говорить о частотном спектре сигнала в какой-либо момент времени. Для точного определения частоты необходимо наблюдать за сигналом в течение некоторого времени, таким образом теряя точность определения времени. Другими словами, звук не может иметь и точного значения времени, как например короткий импульс, и точного значения частоты, как, например, в непрерывном чистом тоне. Временно́е положение и частота волны во времени походят на координату и импульс частицы в пространстве.

Определение

Если приготовлены несколько идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определённому распределению вероятности - это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину стандартного отклонения Δx координаты и стандартного отклонения Δp импульса, мы найдем что:

,

где - постоянная Дирака . В некоторых случаях «неопределённость» переменной определяется как наименьшая ширина диапазона, который содержит 50 % значений, что, в случае нормального распределения переменных, приводит для произведения неопределённостей к большей нижней границе . Отметьте, что это неравенство даёт несколько возможностей - состояние может быть таким, что x может быть измерен с высокой точностью, но тогда p будет известен только приблизительно, или наоборот p может быть определён точно, в то время как x - нет. Во всех же других состояниях, и x и p могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью.

В повседневной жизни мы обычно не наблюдаем неопределённость потому, что значение чрезвычайно мало.

Другие характеристики

Было развито множество дополнительных характеристик, включая описанные ниже:

Выражение конечного доступного количества информации Фишера

Принцип неопределённости альтернативно выводится как выражение неравенства Крамера - Рао в классической теории измерений. В случае когда измеряется положение частицы. Средне-квадратичный импульс частицы входит в неравенство как информация Фишера . См. также полная физическая информация.

Обобщённый принцип неопределённости

Принцип неопределённости не относится только к координате и импульсу. В своей общей форме, он применим к каждой паре сопряжённых переменных . В общем случае, и в отличие от случая координаты и импульса, обсуждённого выше, нижняя граница произведения неопределённостей двух сопряжённых переменных зависит от состояния системы. Принцип неопределённости становится тогда теоремой в теории операторов, которую мы здесь приведем

Следовательно, верна следующая общая форма принципа неопределённости , впервые выведенная в г. Говардом Перси Робертсоном и (независимо) Эрвином Шрёдингером :

Это неравенство называют соотношением Робертсона - Шрёдингера .

Оператор A B − B A называют коммутатором A и B и обозначают как [A ,B ] . Он определен для тех x , для которых определены оба A B x и B A x .

Из соотношения Робертсона - Шрёдингера немедленно следует соотношение неопределённости Гейзенберга :

Предположим, A и B - две физические величины, которые связаны с самосопряжёнными операторами. Если A B ψ и B A ψ определены, тогда:

,

Среднее значение оператора величины X в состоянии ψ системы, и

Возможно также существование двух некоммутирующих самосопряжённых операторов A и B , которые имеют один и тот же собственный вектор ψ . В этом случае ψ представляет собой чистое состояние, которое является одновременно измеримым для A и B .

Общие наблюдаемые переменные, которые повинуются принципу неопределённости

Предыдущие математические результаты показывают, как найти отношения неопределённости между физическими переменными, а именно, определить значения пар переменных A и B , коммутатор которых имеет определённые аналитические свойства.

  • самое известное отношение неопределённости - между координатой и импульсом частицы в пространстве:
  • отношение неопределённости между двумя ортогональными компонентами оператора полного углового момента частицы:
где i , j , k различны и J i обозначает угловой момент вдоль оси x i .
  • следующее отношение неопределённости между энергией и временем часто представляется в учебниках физики, хотя его интерпретация требует осторожности, так как не существует оператора, представляющего время:
. Однако, при условие периодичности несущественно и принцип неопределенности принимает привычный вид: .

Интерпретации

Альберту Эйнштейну принцип неопределённости не очень понравился, и он бросил вызов Нильсу Бору и Вернеру Гейзенбергу известным мысленным экспериментом (См. дебаты Бор-Эйнштейн для подробной информации): заполним коробку радиоактивным материалом, который испускает радиацию случайным образом. Коробка имеет открытый затвор, который немедленно после заполнения закрывается при помощи часов в определённый момент времени, позволяя уйти небольшому количеству радиации. Таким образом время уже точно известно. Мы все ещё хотим точно измерить сопряжённую переменную энергии. Эйнштейн предложил сделать это, взвешивая коробку до и после. Эквивалентность между массой и энергией по специальной теории относительности позволит точно определить, сколько энергии осталось в коробке. Бор возразил следующим образом: если энергия уйдет, тогда полегчавшая коробка сдвинется немного на весах. Это изменит положение часов. Таким образом часы отклоняются от нашей неподвижной системы отсчёта , и по специальной теории относительности, их измерение времени будет отличаться от нашего, приводя к некоторому неизбежному значению ошибки. Детальный анализ показывает, что неточность правильно дается соотношением Гейзенберга.

В пределах широко, но не универсально принятой Копенгагенской интерпретации квантовой механики, принцип неопределённости принят на элементарном уровне. Физическая вселенная существует не в детерминистичной форме, а скорее как набор вероятностей, или возможностей. Например, картина (распределение вероятности) произведённая миллионами фотонов, дифрагирующими через щель может быть вычислена при помощи квантовой механики, но точный путь каждого фотона не может быть предсказан никаким известным методом. Копенгагенская интерпретация считает, что это не может быть предсказано вообще никаким методом.

Именно эту интерпретацию Эйнштейн подвергал сомнению, когда писал Максу Борну : «я уверен, что Бог не бросает кости» (Die Theorie liefert viel. Aber ich bin überzeugt, dass der Alte nicht würfelt ) . Нильс Бор , который был одним из авторов Копенгагенской интерпретации, ответил: «Эйнштейн, не говорите Богу, что делать».

Эйнштейн был убеждён, что эта интерпретация была ошибочной. Его рассуждение основывалось на том, что все уже известные распределения вероятности являлись результатом детерминированных событий. Распределение подбрасываемой монеты или катящейся кости может быть описано распределением вероятности (50 % орёл, 50 % решка). Но это не означает, что их физические движения непредсказуемы. Обычная механика может вычислить точно, как каждая монета приземлится, если силы, действующие на неё будут известны, а орлы/решки будут все ещё распределяться случайно (при случайных начальных силах).

Эйнштейн предполагал, что существуют скрытые переменные в квантовой механике, которые лежат в основе наблюдаемых вероятностей.

Ни Эйнштейн, ни кто-либо ещё с тех пор не смог построить удовлетворительную теорию скрытых переменных, и неравенство Белла иллюстрирует некоторые очень тернистые пути в попытке сделать это. Хотя поведение индивидуальной частицы случайно, оно также скоррелировано с поведением других частиц. Поэтому, если принцип неопределённости - результат некоторого детерминированного процесса, то получается, что частицы на больших расстояниях должны немедленно передавать информацию друг другу, чтобы гарантировать корреляции в своём поведении.

Принцип неопределённости в популярной культуре

Принцип неопределённости часто неправильно понимается или приводится в популярной прессе. Одна частая неправильная формулировка в том, что наблюдение события изменяет само событие. Вообще говоря, это не имеет отношения к принципу неопределённости. Почти любой линейный оператор изменяет вектор, на котором он действует (то есть почти любое наблюдение изменяет состояние), но для коммутативных операторов никаких ограничений на возможный разброс значений нет (). Например, проекции импульса на оси c и y можно измерить вместе сколь угодно точно, хотя каждое измерение изменяет состояние системы. Кроме того, в принципе неопределённости речь идёт о параллельном измерении величин для нескольких систем, находящихся в одном состоянии, а не о последовательных взаимодействиях с одной и той же системой.

Другие (также вводящие в заблуждение) аналогии с макроскопическими эффектами были предложены для объяснения принципа неопределённости: одна из них рассматривает придавливание арбузной семечки пальцем. Эффект известен - нельзя предсказать, как быстро или куда семечка исчезнет. Этот случайный результат базируется полностью на хаотичности, которую можно объяснить в простых классических терминах.

В некоторых научно-фантастических рассказах устройство для преодоления принципа неопределённости называют компенсатором Гейзенберга, наиболее известное используется на звездолёте «Энтерпрайз» из фантастического телесериала Звёздный Путь в телепортаторе. Однако, неизвестно, что означает «преодоление принципа неопределённости». На одной из пресс-конференций продюсера сериала спросили «Как работает компенсатор Гейзенберга?», на что он ответил «Спасибо, хорошо!»

Научный юмор

Необычная природа принципа неопределённости Гейзенберга и его запоминающееся название, сделали его источником нескольких шуток. Говорят, что популярной надписью на стенах физического факультета университетских городков является: «Здесь, возможно, был Гейзенберг».

В другой шутке о принципе неопределённости, квантового физика останавливает на шоссе полицейский и спрашивает: «Вы знаете, как быстро Вы ехали, сэр?». На что физик отвечает: «Нет, но я точно знаю, где я!»

Литература

Использованная литература

Журнальные статьи

  • W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik , Zeitschrift für Physik, 43 1927, pp 172–198. English translation: J. A. Wheeler and H. Zurek, Quantum Theory and Measurement Princeton Univ. Press, 1983, pp. 62–84.
  • Л. И. Мандельштам , И. Е. Тамм «Соотношение неопределённости энергия-время в нерелятивистской квантовой механике », Изв. Акад. Наук СССР (сер. физ.) 9 , 122-128 (1945).
  • G. Folland, A. Sitaram, The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey , Journal of Fourier Analysis and Applications, 1997 pp 207–238.

О соотношения неопределенностей Шредингера

  • Шредингер Э. К принципу неопределенностей Гейзенберга. Избранные труды по квантовой механике. М.: Наука, 1976. стр.210-217.
  • Додонов В. В., Манько В. И. Обобщения соотношений неопределенностей в квантовой механике. Труды ФИАН СССР. 1987. Том 183 стр.5-70.
  • Суханов А. Д. Соотношения неопределенностей Шредингера и физические особенности коррелированно-когерентных состояний, Теор. Мат. Физ. Том.132. N.3. (2002) с.449-468.
  • Суханов А. Д. Соотношение неопределенностей Шредингера для квантового осциллятора в термостате. Теор. Мат. Физ. Том.148. N.2. (2006) с.295-308.