В настоящем параграфе рассмотрим подробно частный случай системы собственно параллельных сил. Именно, всякое материальное тело или система материальных точек (дискретных частиц), находящихся на Земле, подвержены действию земного притяжения. Поэтому на каждую частицу таких механических систем действует сила ее тяжести. Строго говоря, все эти силы направлены в одну точку к центру Земли. Но так как размеры земных тел весьма малы по сравнению с радиусом Земли (полагаем, что также малы обьемы, в которых заключены дискретные частицы), то с большой степенью точности эти силы можно считать параллельными. Приведению этой системы сил и посвящен параграф.

Удельный вес

Выделим в теле элементарную частицу объемом столь малую, что ее положение можно определить одним радиусом-вектором Пусть вес этой частицы будет Величина

называется удельным весом, а величина

Плотностью тела.

В системе единиц СИ удельный вес имеет размерность

а плотность

В общем случае удельный вес и плотность являются функциями координат точек тела. Если они для всех точек одинаковые, то тело называется однородным.

Равнодействующая всех элементарных сил тяжести равна их сумме и представляет собой вес тела. Центр этих параллельных сил называется центром тяжести тела.

Очевидно, положение центра тяжести в теле не зависит от ориентации тела в пространстве. Это утверждение вытекает из сделанного ранее замечания о том, что центр параллельных сил не изменяет своего положения при повороте всех сил на один и тот же угол вокруг их точек приложения.

Формулы, определяющие центры тяжести тела и системы дискретных частиц

Для определения центра тяжести тела разобьем его на достаточно малые частицы объемом . К каждой из них приложим силу тяжести равную

Равнодействующая этих параллельных сил равна весу тела, который обозначим через

Радиус-вектор центра тяжести тела, который обозначим через , определится по формулам предыдущего параграфа как центр параллельных сил. Таким образом, будем иметь

Если определяется центр тяжести системы дискретных частиц, то будет удельный вес частицы, V, - ее объем - радиус-вектор, определяющий положение частицы. Последняя формула определяет в этом случае центр масс системы дискретных частиц.

Если механическая система представляет собой тело, образованное непрерывной совокупностью частиц, то в пределе суммы последних формул обращаются в интегралы и радиус-вектор центра тяжести тела может быть вычислен по формуле:

где интегралы распространяются по всему объему тела.

Если тело однородно то последняя формула имеет вид:

где V - объем всего тела.

Таким образом, когда тело однородно, определение его центра тяжести сводится к чисто геометрической задаче. В этом случае говорят о центре тяжести объема.

Центр масс тела

Введенное понятие центра тяжести имеет смысл лишь для тел (малых по сравнению с размерами Земли), находящихся вблизи поверхности Земли. Вместе с тем, метод вычисления координат центра тяжести позволяет применить его для вычисления координат точки, характеризующей распределение материи в теле. Для этого следует рассматривать не вес частиц, а их массу. Каждая частица тела объемом имеет массу

а заменяя в ранее полученной формуле на придем к равенству:

которое определяет точку, носящую название центра масс или центра инерции тела.

Если система состоит из материальных точек, массы которых то центр масс системы находится по формуле:

где представляет собой массу всей системы. Радиус-вектор центра масс тела зависит от выбора начала координат О. Если в качестве начала координат выбрать сам центр инерции, то будет равен нулю:

Понятие центра масс может быть введено независимо от понятия центра тяжести. Благодаря этому оно относится к любым механическим системам.

Статические моменты

Выражения называются соответственно статическими моментами веса, объема и массы тела относительно точки О. Если в качестве точки (начало координат) выбрать центр масс тела, то статические моменты тела относительно центра масс окажутся равными нулю, что будет неоднократно использоваться в дальнейшем.

Методы вычисления центра масс

В случае тела сложной формы определение координат центра масс по приведенным общим формулам обычно сопряжено с кропотливыми вычислениями. В ряде случаев их можно значительно упростить, если воспользоваться следующими методами.

1) Метод симметрии. Пусть тело имеет центр материальной симметрии. Это значит, что каждой частице с массой и радиусом-вектором проведенного из этого центра, соответствует частица с такой же массой и радиусом-вектором . В этом случае статический момент массы тела обратится в нуль и

Следовательно, центр масс будет совпадать в этом случае с центром материальной симметрии тела. Для однородных тел это означает, что центр масс совпадает с геометрическим центром объема тела. Если тело имеет плоскость материальной симметрии, то центр масс находится в этой плоскости. Если же тело симметрично относительно оси, то центр масс находится на этой оси.

2) Метод разбиения на части. Если тело можно разбить на конечное число частей, массы и положения центров масс которых известны, то центр масс всего тела найдем следующим образом: представим себе, что массы этих частей сосредоточены в их центрах масс, тогда тело приводится к конечному числу материальных точек. Центр масс системы материальных точек просто вычисляется по приведенным формулам.

3) Метод отрицательных масс. Пусть однородное тело массы имеет отверстий и центр масс его определяется радиусом-вектором Если заполнить эти отверстия тел веществом, из которого состоит тело, то они будут иметь определенные массы и центры масс. Массы этих заполненных отверстий будут равны а радиусы-векторы их центров масс Тогда центр масс тела с заполненными отверстиями будет определяться радиусом-вектором

где М - масса тела с заполненными отверстиями. Отсюда

Но следовательно,

Полученная формула указывает на следующий метод определения центра масс тела с отверстиями. Мысленно заполняют отверстия веществом, из которого состоит тело. Затем находят массу и центр масс полученного таким путем тела, а также массы и центры масс вещества, заполняющего отверстия, и приписывают этим массам знак минус. После этого центр масс рассматриваемого тела можно вычислить посредством метода разбиения.

Любая механическая система так же, как и любое тело обладает такой замечательной точкой как центр масс. Она есть у человека, автомобиля, Земли, Вселенной, т. е. у любого предмета. Очень часто эту точку путают с центром тяжести. Несмотря на то что они часто друг с другом совпадают, у них есть определенные различия. Можно сказать, что центр масс механической системы - это более обширное понятие по сравнению с ее центром тяжести. Что же это такое и как найти его местоположение в системе или в отдельно взятом объекте? Об этом как раз и пойдет речь в нашей статье.

Понятие и формула определения

Центр масс представляет собой некую точку пересечения прямых, параллельно которым воздействуют внешние силы, вызывая при этом поступательное движение данного объекта. Это утверждение является справедливым как для отдельного взятого тела, так и для группы элементов имеющих между собой определенную связь. Центр масс всегда совпадает с центром тяжести и является одной из важнейших геометрических характеристик распределения всех масс в исследуемой системе. Обозначим через m i массу каждой точки системы (i = 1,…,n). Положение любой из них можно описать тремя координатами: x i , у i , z i . Тогда очевидно, что масса тела (всей системы) будет равна сумме масс ее частиц: М=∑m i . А сам центр масс (O) можно будет определить через следующие соотношения:

X o = ∑m i *x i /M;

Y o = ∑m i *y i /M;

Z o = ∑m i *z i /M.

Чем же интересна данная точка? Одно из главных ее достоинств - это то, что она характеризует движение объекта как целого. Это свойство позволяет использовать центр массы в тех случаях, когда тело имеет большие габариты или неправильную геометрическую форму.

Что следует знать для нахождения данной точки


Практическое применение

Рассматриваемое понятие широко используется в различных областях механики. Обычно центр масс используют в роли центра тяжести. Последний представляет собой такую точку, подвесив объект, за который, можно будет наблюдать неизменность его положения. Центр масс системы нередко рассчитывают при проектировании различных деталей в машиностроении. Он также играет большую роль в обеспечении равновесия, что можно применить, к примеру, при создании альтернативных вариантов мебели, транспортных средств, в строительстве, в складском хозяйстве и т. д. Без знания основных принципов, по которым определяется центр тяжести, было бы сложно организовать безопасность работ с массивными грузами и любыми габаритными предметами. Надеемся, что наша статья оказалась полезной и ответила на все вопросы по данной теме.

Представим себе два груза массами и , соединенные легким стержнем так, что расстояние между ними равно (рис. 1). Такие грузы уже не могут вести себя независимо - они образуют единую систему. Если приложить внешнюю силу к грузу то будет ускоряться и груз , и наоборот. Как описывать лучше всего движение такой системы?

Оказывается, что имеется одна особая точка, которая движется так, как если бы в ней была сосредоточена вся масса системы и приложены все внешние силы (внутренние силы можно не учитывать, так как их векторная сумма по третьему закону Ньютона равна нулю). Если, например, подбросить грузики в поле тяжести, то они будут кувыркаться, но одна точка системы будет двигаться, как и положено, по параболе. Эта точка называется центром масс. Она имеется у любой, даже самой сложной, системы.

Как найти положение центра масс? Если подвесить стержень с грузами, то при определенном выборе точки подвеса стержень будет оставаться в равновесии в горизонтальном положении. Для этого должно выполняться условие - так чтобы моменты сил тяжести относительно точки подвеса были бы равны. С другой стороны, так как, по определению, можно считать, что в центре масс сосредоточена вся масса системы, то и равнодействующая сил тяжести должна проходить через центр масс (поэтому его также называют центром тяжести системы). Следовательно, в равновесии, когда нет вращения, центр масс должен совпадать с точкой подвеса. Конечно, положение центра масс не обязательно находить экспериментально. Его можно рассчитать, используя указанную выше формулу: центр масс находится на линии, соединяющей грузы на расстоянии от груза или на расстоянии от груза . Если имеется много грузиков, то последовательно разбивая систему на пары, можно найти положение центра масс всей системы.

Итак, центр масс позволяет описать крупномасштабное движение системы под действием внешних сил, отвлекаясь от деталей внутреннего движения. В частности, если на тело не действуют внешние силы (или их векторная сумма равна нулю), то центр масс должен двигаться с постоянной скоростью. Если он вначале покоился, то его смещение будет равно нулю. Центр масс изолированной системы остается на месте. Вот почему нельзя разбежаться по очень скользкому льду, улететь на ракете, не выбрасывая назад топливо, и т. д. Это свойство отражает очень важный закон природы - закон сохранения импульса.

С другой стороны, если нас интересуют внутренние процессы в системе, то, для того чтобы отвлечься от ее движения как целого, можно перейти в систему отсчета, связанную с центром масс (система центра масс). Для изолированной системы центр масс движется с постоянной скоростью, и такая система будет инерциальной.

Известно, например, что -кванты могут рождать пары частиц: электрон и позитрон. Но оказывается, что этот процесс не может происходить с одним квантом. Для того чтобы в этом убедиться, воспользуемся системой центра масс. В этой системе суммарный импульс электрона и позитрона равен нулю (так как массы частиц одинаковы, то центр масс всегда находится посередине, и относительно него частицы разлетаются с одинаковыми по величине скоростями в разные стороны). В то же время импульс -кванта, из которого родились частицы, был отличен от нуля, так как в любой системе отсчета он движется со скоростью света. Поэтому закон сохранения импульса запрещает такой процесс. Он может идти, например, при столкновении двух -квантов или когда есть еще и другие частицы, которым передается лишний импульс. Аналогично при аннигиляции рождаются два -кванта (рис. 2). Как видно, в системе центра масс удобно исследовать процессы взаимодействия частиц, и такую систему часто используют в ядерной физике и физике элементарных частиц.

Снова рассмотрим ту же систему материальных точек. Построим радиус-вектор по следующему правилу:

где - радиус-вектор - той материальной точки системы, а - ее масса.

Радиус-вектор определяет положение в пространстве центра инерции (центра масс) системы.

Вовсе не обязательно, что в центре масс системы окажется какая-то материальная точка.

Пример. Найдем центр масс системы, состоящей из двух маленьких шариков - материальных точек, соединенных невесомым стержнем (рис. 3.29). Такая система тел называется гантелей.

Рис. 3.29. Центр масс гантели

Из рис. видно, что

Подставляя в эти равенства выражение для радиус-вектора центра масс

Отсюда следует, что центр масс лежит на прямой, проходящей через центры шаров. Расстояния l 1 и l 2 между шарами и центром масс равны соответственно

Центр масс ближе к тому шарику, масса которого больше, что видно из отношения:

Определим, с какой скоростью движется центр инерции системы. Дифференцируем по времени обе части:

В числителе полученного выражения в правой части стоит сумма импульсов всех точек, то есть импульс системы. В знаменателе стоит полная масса системы

Мы получили, что скорость центра инерции связана с импульсом системы и ее полной массой таким же соотношением, какое справедливо для материальной точки:

Видео 3.11. Движение центра масс двух одинаковых тележек, связанных пружиной.

Центр масс замкнутой системы движется всегда с постоянной скоростью, поскольку импульс такой системы сохраняется.

Если продифференцировать теперь выражение для импульса системы по времени и учесть, что производная импульса системы есть равнодействующая внешних сил, то получим уравнение движения центра масс системы в общем случае:

Видно, что

Центр масс системы движется точно так же, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе всех частиц системы, под действием векторной суммы всех внешних сил, приложенных к системе.

Если имеется система материальных точек, внутреннее расположение и движение которых нас не интересует, мы вправе считать ее материальной точкой с координатами радиус-вектора центра инерции и массой, равной сумме масс материальных точек системы.

Если связать с центром масс замкнутой системы материальных точек (частиц) систему отсчета (ее называют системой центра масс ), то полный импульс всех частиц в такой системе окажется равным нулю. Таким образом, в системе центра масс замкнутая система частиц как целое покоится, и существует только движение частиц относительно центра масс. Поэтому ясно выявляются свойства внутренних процессов, протекающих в замкнутой системе.

В случае, когда системой является тело с непрерывным распределением масс, определение центра масс остается по существу тем же. Окружаем произвольную точку в нашем теле небольшим объемом . Масса, заключенная в этом объеме, равна , где - плотность вещества тела, которая может и не быть постоянной по его объему. Сумма по всем таким элементарным массам заменяется теперь на интеграл по всему объему тела, так что для положения центра масс тела получается выражение

Если вещество тела однородно, плотность его постоянна, и ее можно вынести из-под знака интеграла, так что она сократится в числителе и знаменателе. Тогда выражение для радиус-вектора центра масс тела принимает вид

где - объем тела.

И в случае непрерывного распределения масс справедливо утверждение, что

Центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, под действием векторной суммы всех внешних сил,приложенных к телу.

Пример . Если снаряд взрывается в некоторой точке своей параболической траектории, то осколки летят по самым различным траекториям, но его центр масс продолжает движение по параболе.

Термин «центр масс» используется не только в механике и в расчетах движения но и обыденной жизни. Просто люди не всегда задумываются о том, какие же законы природы проявляются в той или иной ситуации. Например, фигуристы в парном катании активно используют центр масс системы, когда раскручиваются, взявшись за руки.

Понятие центра масс также применяется при проектировке кораблей. Необходимо учесть не просто два тела, а огромное их количество и все привести к единому знаменателю. Ошибки в расчетах означают отсутствие устойчивости корабля: в одном случае он будет чрезмерно погружен в воду, рискуя пойти ко дну при самых незначительных волнах; а в другом слишком приподнят над уровнем моря, создавая опасность переворота на бок. Кстати, именно поэтому каждая вещь на борту должна быть на своем месте, предусмотренным расчетами: наиболее массивные в самом низу.

Центр масс используется не только в отношении небесных тел и проектировании механизмов, но и при изучении «поведения» частиц микромира. К примеру, многие из них рождаются парами (электрон-позитрон). Обладая изначальным вращением и подчиняясь законам притяжения/отталкивания, они могут быть рассмотрены как система с общим центром масс.